Question

如圖，P是拋物線C：y=

1

2

x²上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q．
（Ⅰ）當點P的橫坐標為2時，求直線l的方程；
（Ⅱ）當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離．

Answer 1

分析：（1）由于直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，要求求直線l的方程，我們可以根據點P的橫坐標為2，求出點P的坐標，并求出P點處函數的導數值，即過P點切線的斜率，進而得到直線l的斜率，代入點斜式方程進行求解．
（2）方法一，求線段PQ中點M的軌跡方程，我們可以分別求出直線與拋物線兩交點的坐標，代入中點公式進行化簡，得到變量x，y之間的關系，即軌跡方程；
方法二：將直線方程代入拋物線的方程，再結合韋達定理（根與系數關系）對式子進行化簡，探究變量x，y之間的關系，即軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）把x=2代入y=

1

2

x2，得y=2，
∴點P坐標為（2，2）．
由y=

1

2

x2，①
得y'=x，
∴過點P的切線的斜率k_切=2，
直線l的斜率k_l=-

1

k切

=-

1

2

，
∴直線l的方程為y-2=-

1

2

（x-2），
即x+2y-6=0．

（Ⅱ）設P(x0，y0)，則y0=

1

2

x

2 0

.
∵過點P的切線斜率k_切=x₀，
當x₀=0時不合題意，x₀≠0．
∴直線l的斜率k_l=-

1

k切

=-

1

x0

，
直線l的方程為y-

1

2

x

2 0

=-

1

x0

(x-x0).②
方法一：聯立①②消去y，得x²+

2

x0

x-x₀²-2=0．設Q（x₁，y₁），M（x，y）．
∵M是PQ的中點，
∴

x= x0+x1 2 =- 1 x0 y=- 1 x0 (- 1 x0 -x0)+ 1 2 x 2 0 = 1 x 2 0 + x 2 0 2 +1.

消去x₀，得y=x²+

1

2x2

+1（x≠0）就是所求的軌跡方程．
由x≠0知x2＞0，∴y=x2+

1

2x2

+1≥2

x2• 1 2x2

+1=

2

+1.
上式等號僅當x2=

1

2x2

，即x=±4

1 2

時成立，所以點M到x軸的最短距離是

2

+1.
方法二：
設Q（x₁，y₁），M（x，y）．則
由y₀=

1

2

x₀²，y₁=

1

2

x₁²，x=

x0+x1

2

，
∴y₀-y₁=

1

2

x₀²-

1

2

x₁²=

1

2

（x₀+x₁）（x₀-x₁）=x（x₀-x₁），
∴x=

y0-y1

x0-x1

=kl=-

1

x0

，∴x0=-

1

x

，
將上式代入②并整理，得y=x²+

1

2x2

+1（x≠0）就是所求的軌跡方程．
由x≠0知x2＞0，∴y=x2+

1

2x2

+1≥2

x2• 1 2x2

+1=

2

+1.
上式等號僅當x2=

1

2x2

，即x=±4

1 2

時成立，所以點M到x軸的最短距離是

2

+1.

點評：本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力．在使用點斜式表示過定點的直線方程時，一定要注意它不能表示斜率不存在的直線，此時與它垂直的直線斜率為0，故在使用前要對這種情況進行討論．