Question

函數f(x)對任意的m，n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且當x＞0時，f(x)＞1．

(1)求證：f(x)在R上是增函數；

(2)若f(3)=4，解不等式f(a²+a-5)＜2．

Answer 1

解：(1)任取x₁，x₂∈R，x＜x₂，

則x₂-x₁＞0，所以f(x₂-x₁)＞1．

故f(x₂)=f(x₁)+f(x₂-x₁)-1＞f(x₁)，

所以f(x)在R上是增函數

(2)因為f(3)=f(1)+f(2)-1=f(1)+f(1)+f(1)-2=3f(1)-2=4

所以f(1)=2． 

所以f(a²+a-5)＜2即f(a²+a-5)＜f(1)．

因為f(x)在R上是增函數，所以a²+a-5＜1，

解得-3＜a＜2，即不等式f(a²+a-5)＜2的解集為(-3，2)．