Question

【題目】已知橢圓過點,離心率為.若是橢圓上的不同的兩點, 的面積記為.

（I）求橢圓的方程;

（II）設直線的方程為, , ,求的值;

（III）設直線, 的斜率之積等于,試證明：無論如何移動,面積保持不變.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）詳見解析.

【解析】試題分析：(I)利用列方程,求出的值,由此得到橢圓方程.(II)聯立直線的方程和橢圓方程,求得交點坐標,利用點到直線距離公式求得三角形的高,由此得到三角形面積的表達式,并由此求得的值.(III)設出直線的方程,聯立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達定理,代入向量運算,利用弦長公式和點到直線距離公式求得面積的表達式,化簡得到面積保持不變.

試題解析：

（I）由題知,

解得,

所以橢圓的方程為.

（II）法1:由得點到直線的距離所以的面積即解得

（III）橢圓方程為,

過兩點的直線的方程,其中, ,

則,

得,

,,

因為,

所以.

則,

坐標原點到直線的距離為,

所以,

所以無論如何移動,面積保持不變. 的值為.