Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-x2-8x-

1

3

，直線 l：10x+y+c=0．
（1）求y=f′（x）．
（2）求證直線l與y=f（x）的圖象不相切．
（3）若當x∈[-1，1]時，函數(shù)y=f（x）的圖象在直線l的下方，求c范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

1

3

x3-x2-8x-

1

3

，能求出f′（x）．
（2）由f′（x）=（x-1）²-9≥-9，l斜率為k=-10，故直線l與y=f（x）的圖象不相切．
（3）根據(jù)題意c＜-

1

3

x3+x2-2x+

1

3

對一切x∈[-1，1]都成立．令g（x）=-

1

3

x3+x2-2x+

1

3

，由g′（x）=-（x-1）²-1＜0，知g（x）在[-1，1]單調(diào)遞減，由此能求出c的范圍．

解答：（1）解：∵f(x)=

1

3

x3-x2-8x-

1

3

，
∴f′（x）=x²-2x-8（3分）
（2）證明：∵f′（x）=（x-1）²-9≥-9，
而直線 l：10x+y+c=0．斜率為k=-10，
∵k＜-9，
∴直線l與y=f（x）的圖象不相切．…..（7分）
（3）解：根據(jù)題意有

1

3

x3-x2-8x-

1

3

-（-10x-c）＜0對一切x∈[-1，1]都成立，
即：c＜-

1

3

x3+x2-2x+

1

3

對一切x∈[-1，1]都成立，…..（10分）
令g（x）=-

1

3

x3+x2-2x+

1

3

，
∵g′（x）=-（x-1）²-1＜0，
∴g（x）在[-1，1]單調(diào)遞減，…..（13分）
∴當 x∈[-1，1]時，
[g（x）]_min=g（1）=-1，
∴c＜-1即c的范圍為（-∞-1）．…..（15分）

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答．