如圖，在平面直角坐標系
中，已知
，
，
是橢圓
上不同的三點，
，
，在第三象限，線段
的中點在直線
上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點
在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于
，
兩點，證明
為定值并求出該定值．
（1）求橢圓方程一般用待定系數法.本題已知橢圓過兩點，列兩個方程
，解出
的值,（2）求點
的坐標，需列出兩個方程.一是點C在橢圓上，即
，二是的中點在直線上，即
.注意到在第三象限，舍去正值.（3）題意明確，思路簡潔，就是求出點
的坐標，算出
為定值.難點是如何消去參數.因為點在直線： 
上，所以可設
，
．選擇
作為參數，即用表示點的坐標.由
三點共線，解得
，同理解得
.從而有
，這里主要用到
代入化簡.本題也可利用橢圓參數方程或三角表示揭示
為定值.
解析試題分析：（1）
,（2）
,（3）
.
試題解析：（1）由已知，得 解得
2分
所以橢圓的標準方程為． 3分
（2）設點
，則中點為
．
由已知，求得直線的方程為，從而．①
又∵點在橢圓上，∴．②
由①②，解得
（舍），
，從而
． 5分
所以點的坐標為． 6分
（3）設，，．
∵三點共線，∴
，整理，得． 8分
∵
三點共線，∴
，整理，得． 10分
∵點在橢圓上，∴，
．
從而
． 14分
所以
15分
∴為定值，定值為． 16分
考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系
贏在課堂名師課時計劃系列答案
天天向上課時同步訓練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左右焦點分別為
、
，短軸兩個端點為
、
，且四邊形
是邊長為2的正方形.
（1）求橢圓方程；
（2）若
分別是橢圓長軸的左右端點，動點
滿足
，連接
，交橢圓于點
，證明：
為定值；
（3）在（2）的條件下，試問
軸上是否存在異于點
的定點
，使得以
為直徑的圓恒過直線
的交點？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的焦點在
軸上，離心率為
，對稱軸為坐標軸，且經過點
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）直線
與橢圓
相交于
、
兩點， 
為原點，在
、上分別存在異于
點的點
、
，使得
在以
為直徑的圓外，求直線斜率
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a>b>0)的離心率e＝
，一條準線方程為x＝
(1)求橢圓C的方程；
(2)設G、H為橢圓C上的兩個動點，O為坐標原點，且OG⊥OH.
①當直線OG的傾斜角為60°時，求△GOH的面積；
②是否存在以原點O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請求出該定圓方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為
，其左焦點到點P(2，1)的距離為
.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求△ABP面積取最大值時直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓E：
＋y2＝1(a＞1)的上頂點為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.
(1)當坐標原點到橢圓E的準線距離最短時，求橢圓E的方程；
(2)若Rt△MAB面積的最大值為
，求a；
(3)對于給定的實數a(a＞1)，動直線AB是否經過一定點？如果經過，求出定點坐標(用a表示)；反之，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系xOy中，圓C：(x＋1)2＋y2＝16，點F(1，0)，E是圓C上的一個動點，EF的垂直平分線PQ與CE交于點B，與EF交于點D.
(1)求點B的軌跡方程；
(2)當點D位于y軸的正半軸上時，求直線PQ的方程；
(3)若G是圓C上的另一個動點，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，且過點A(0，1)．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點M、N，求證：直線MN恒過定點P
.
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：
，命題
：方程
表示焦點在
軸上的雙曲線．
的取值范圍；
”為真，命題“
”為假，求實數