Question

【題目】已知函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；

（3）當時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ， 時，函數(shù)是奇函數(shù);(2)見解析;（3）實數(shù)的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，由定義可得代入特值， ，可得結(jié)果；（2）根據(jù)定義做差 ，提公因式和0 比較即可得單調(diào)性；（3）結(jié)合第一問和第二問得到的奇偶性和單調(diào)性，將原式變形得到

，轉(zhuǎn)化為上式恒成立求參，變量分離即可。

(1)∵是偶函數(shù)，

∴為定義在 上的奇函數(shù)，∴，∴.

又∵，∴，解得.

校驗知，當， 時，函數(shù)是奇函數(shù).

(2)由（1）知 ，

任取，且，則 .

∵函數(shù)在上是增函數(shù)，且，∴， ，

∴，即，∴函數(shù)在上是減函數(shù).

(3)∵是奇函數(shù)，從而不等式等價于，∴，即對一切恒成立.

設(shè)，

令， ，則有， ，

∴，∴，

故實數(shù)的取值范圍為.