Question

【題目】如圖，設橢圓的中心為原點，長軸在軸上，上頂點為，左、右焦點分別為，線段的中點分別為，且是面積為的直角三角形.

（1）求該橢圓的離心率和標準方程；

（2）過作直線交橢圓于兩點，使，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設橢圓的方程為，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2為直角，從而，利用c2=a2﹣b2，可求得離心率，又=4，故可求橢圓標準方程；

（2）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設直線PQ的方程為x=my﹣2，代入橢圓方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韋達定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，進而可求△PB2Q的面積．

試題解析：

（1）設橢圓的方程為， ，∵是面積為的直角三角形， ，∴為直角，從而，得，∵

，在中， ，∴，∵ ，∴橢圓標準方程為.

（2）由（1）知，由題意，直線的傾斜角不為，故可設直線的方程為，代入橢圓方程，消元可得，①

設，

∵，

∴，∵，∴，∴，當時，①可化為，

∴，

∴的面積.