Question

（05年北京卷理）(14分)

如圖,在直四棱柱中,,

垂足為

(Ⅰ)求證;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)求異面直線與所成角的大小

Answer 1

解析：（I）在直四棱柱ABCD－AB₁C₁D₁中，

∵AA₁⊥底面ABCD．∴ AC是A₁C在平面ABCD上的射影．

   ∵BD⊥AC．∴ BD⊥A₁C；

（II）連結A₁E，C₁E，A₁ C₁．

   與（I）同理可證BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，

∴ ∠A₁EC₁為二面角A₁－BD－C₁的平面角．

  ∵  AD⊥DC，∴ ∠A₁D₁C₁=∠ADC＝90°，

    又A₁D₁=AD＝2，D₁C₁= DC＝2，AA₁=且 AC⊥BD，

    ∴ A₁C₁＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A₁E＝2，C₁E＝2，

    在△A₁EC₁中，A₁C₁²＝A₁E²＋C₁E²，  ∴ ∠A₁EC₁＝90°，

    即二面角A₁－BD－C₁的大小為90°．

（III）過B作 BF//AD交 AC于 F，連結FC₁，

則∠C₁BF就是AD與BC₁所成的角．

∵  AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， 

∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC₁=，BC₁＝，

    在△BFC₁ 中，,∴ ∠C₁BF=

即異面直線AD與BC₁所成角的大小為．

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系

連結

與(1)同理可證,,

∴為二面角的平面角.

由

得

∴

∴即

∴二面角的大小為

（Ⅲ）如圖,由,

得

∴

∴

∵異面直線與所成角的大小為

解法三：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如圖,建立空間直角坐標系,坐標原點為E.連結.

與（Ⅰ）同理可證

∴為二面角的平面角

由

得

∵

∴即

∴二面角的大小為