Question

【題目】為了引導居民合理用水，某市決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價，具體劃分標準如表：

階梯級別	第一階梯水量	第二階梯水量	第三階梯水量
月用水量范圍（單位：立方米）	（0，10]	（10，15]	（15，+∞）

從本市隨機抽取了10戶家庭，統計了同一個月的用水量，得到如圖所示的莖葉圖．

（1）現要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯水量的戶數的分布列和均值；
（2）用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到n戶月用水量為第二階梯水量的可能性最大，求出n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由莖葉圖可知：抽取的10戶中用水量為一階的有2戶，二階的有6戶，三階的有2戶．取到第二階梯水量的戶數X的取值可能為0，1，2，3．則P（X=k）= ，可得：P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，

P（X=3）= ．

可得X分布列為：

X	0	1	2	3
P

EX=0× +1× +2× +3× =

（2）解：設從全市依次隨機抽取10戶，抽到Y戶月用水量為第二階梯水量，則Y～B ．

P（Y=k）= （k=0，1，2，…，10）．

設t= = ．

若t＞1，則k＜6.6，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k﹣1）．若t＜1，則k＞6.6，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k﹣1），

k取6，或7的可能性比較大．

經過驗證k=6時， = ＞1．∴n=6

【解析】【（1）由莖葉圖可知：抽取的10戶中用水量為一階的有2戶，二階的有6戶，三階的有2戶．取到第二階梯水量的戶數X的取值可能為0，1，2，3．利用P（X=k）= ，可得X的概率分布列及其數學期望．（2）設從全市依次隨機抽取10戶，抽到Y戶月用水量為第二階梯水量，則Y～B ．P（Y=k）= （k=0，1，2，…，10）．設t= = ．由t＞1，可得k＜6.6，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k﹣1）．由t＜1，則k＞6.6，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k﹣1），即可得出．
【考點精析】本題主要考查了莖葉圖和離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數組中的數按位數進行比較，將數的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數，每個數具體是多少；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．