Question

【題目】已知數(shù)列，若對于任意數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．

（Ⅰ）已知數(shù)列：，，是“數(shù)列”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅱ）是否存在首項(xiàng)為的等差數(shù)列為“數(shù)列”，且前項(xiàng)和滿足，若存在，求出的通項(xiàng)公式，若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”，數(shù)列不是“數(shù)列”，若數(shù)列，試判斷數(shù)列是否“數(shù)列”，并且說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為“數(shù)列”，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是“數(shù)列”．

【解析】

（Ⅰ）利用“K數(shù)列”定義得到即得m的取值范圍. （Ⅱ）假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為，則，找到矛盾，得到不存在這樣的數(shù)列. （Ⅲ）由各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”得到，再由數(shù)列不是“數(shù)列”得到即得，所以，或，．再分別判斷數(shù)列是否“數(shù)列”.

（I）根據(jù)題意得：，

∴，

∴，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（II）假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為，則，由，得，

根據(jù)題意得對均成立，

即，

①當(dāng)時(shí)，．

②當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，

所以，與矛盾，

故這樣的的等差數(shù)列不存在．

（III）設(shè)數(shù)列的公比為，則，

因?yàn)?/span>的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且，

所以且，

因?yàn)?/span>，

所以在中，“”為最小項(xiàng)，

同理，在中，“”為最小項(xiàng)，

由為“數(shù)列”，只需，

即：，

又因?yàn)?/span>不是“數(shù)列”且“”為最小項(xiàng)，

所以，即：，

由數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，可得，

所以，或，．

①當(dāng)，時(shí)，，則，

令，

又，

所以為遞增數(shù)列，即：，

所以，

因?yàn)?/span>，所以對任意的，都有，

即數(shù)列為“數(shù)列”．

②當(dāng)，時(shí)，，則，

因?yàn)?/span>，

所數(shù)數(shù)列不是“數(shù)列”，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為“數(shù)列”，

當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是“數(shù)列”．