Question

設(shè)曲線2x²＋2xy＋y²＝1在矩陣A＝(a>0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x²＋y²＝1.
(1)求實數(shù)a、b的值；
(2)求A²的逆矩陣．

Answer 1

（1）a＝b＝1（2）

(1)設(shè)曲線2x²＋2xy＋y²＝1上任一點P(x，y)在矩陣A對應(yīng)的變換下的象是P′(x′，y′)，由＝＝，得
因為P′(x′，y′)在圓x²＋y²＝1上，所以(ax)²＋(bx＋y)²＝1，
化簡可得(a²＋b²)x²＋2bxy＋y²＝1，依題意可得a²＋b²＝2，2b＝2?a＝1，b＝1或a＝－1，b＝1，而由a>0可得a＝b＝1.
(2)由(1)A＝，A²＝＝?|A²|＝1，(A²)^－1＝.