Question

已知點O在二面角α-AB-β的棱上，點P在α內，且∠POB=45°．若對于β內異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α-AB-β的取值范圍是______．

Answer 1

若二面角α-AB-β的大小為銳角，
則過點P向平面β作垂線，設垂足為H．
過H作AB的垂線交于C，
連PC、CH、OH，則∠PCH就是所求二面角的平面角．
根據題意得∠POH≥45⁰，
由于對于β內異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°，
∴∠POH≥45°，
設PO=2x，則PH≥

2

x
又∵∠POB=45°，
∴OC=PC=

2

x，而在Rt△PCH中應有
PC＞PH，
∴顯然矛盾，故二面角α-AB-β的大小不可能為銳角．
即二面角α-AB-β的范圍是：[90°，180°]．
若二面角α-AB-β的大小為直角或鈍角，
則由于∠POB=45°，
結合圖形容易判斷對于β內異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°．
即二面角α-AB-β的范圍是[90°，180°]．
故答案為：[90°，180°]．