Question

【題目】已知函數f（x）對任意的x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0時，f（x）＞0．
（1）求證：函f（x）是奇函數；
（2）求證：函數f（x）是R上的減函數；
（3）若定義在（﹣2，2）上的函數f（x）滿足f（﹣m）+f（1﹣m）＜0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）

∴令x=y=0 有f （0 ）=0

令y=﹣x 有：0=f（0）=f（x+（﹣x））=f（x）+f（﹣x）

∴函數f（x）是奇函數

（2）證明：設x2＞x1則x1﹣x2＜0

∵當x＜0時，f（x）＞0

∴f（x1﹣x2）＞0

∴f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x1﹣x2）+f（x2）＞f（x2）

∴函數f（x）是R上的減函數

（3）解：∵f（﹣m）+f（1﹣m）＜0，∴f（﹣m）＜f（m﹣1），

且f（﹣m）+f（1﹣m）=f（1﹣2m）

∴ ，解得：﹣ ＜m＜

【解析】（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=﹣x 代入即證；（2）設x2＞x1則x1﹣x2＜0，由已知當x＜0時，f（x）＞0可得f（x1﹣x2）＞0，則f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x1﹣x2）+f（x2）＞f（x2）可證；（3）移項，利用奇偶性進行化簡，然后利用單調性建立不等式，注意定義域，從而可求出m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數的奇偶性的理解，了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．