Question

 本題滿分12分）

設(shè)f(x) 是定義在R上的減函數(shù)，滿足f(x+y)=f(x)•f(y)且f(0)=1,數(shù)列{a_n}

滿足a₁=4，f(log₃f(-1-log₃=1 (n∈N^*)；

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和, 試比較S_n與6n²-2的大小。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 _(Ⅰ)由題設(shè)知f(log₃∙f(-1-log₃=1 (n∈N^*)可化為

,∵y=f(x)是定義在R上的單調(diào)減函數(shù)，

∴即

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。∴l(xiāng)og₃即a_n=.--------------------------------------------------6分     

_{(Ⅱ)Sn=a1+a2+a3+···+an =4(1+31+32+···+3n-1)=2(3n-1)}

_{當(dāng)n=1時(shí)有Sn=6n2-2=4; 當(dāng)n=2時(shí)有Sn=16<6n2-2=22; 當(dāng)n=3時(shí)有Sn=6n2-2=52;}

_{當(dāng)n=4時(shí)有Sn=160>6n2-2=94; 當(dāng)n=5時(shí)有Sn=484>6n2-2=148.}

_{由此猜想當(dāng)n≥4時(shí), 有Sn>6n2-23n-1>n2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：}

_{①當(dāng)n=1時(shí)顯然成立；}

_{②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥4,k∈N*)時(shí), 有3k-1>k2; 當(dāng)n=k+1時(shí)，有3k=3·3k-1>3k2,}

_{∵k≥4∴k(k-1)≥12, ∴3k2-(k-1)2=2k(k-1)-1>0即3k2>(k+1)2, ∴3k>3k2>(k+1)2, ∴3k>(k+1)2,因此當(dāng)n=k+1時(shí)原式成立.}

_{由①②可知當(dāng)n≥4時(shí)有3n-1>n2即Sn>6n2-2.}

_{綜上可知當(dāng)n=1,3時(shí),有Sn=6n2-2；當(dāng)n=2時(shí),有Sn<6n2-2；當(dāng)n≥4時(shí),有Sn>6n2-2。………………12分}