Question

已知函數f(x)=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx．
（1）當a=b=

1

2

時，求函數h（x）=f（x）-g（x）的單調區間；
（2）若b=2且h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（3）當a≠0時，設函數f（x）的圖象C₁與函數g（x）的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M，N，則是否存在點R，使C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行？如果存在，請求出R的橫坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將a、b的值代入，可得h(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x，求出其導數，再在區間（0，+∞）上討論導數的正負，可以得出函數h（x）單調區間；
（2）先求函數h（x）的解析式，因為函數h（x）存在單調遞減區間，所以不等式h'（x）＜0有解，通過討論a的正負，得出h′（x）＜0有解，即可得出a的取值范圍；
（3）首先設點P、Q的坐標是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂，然后通過導數公式以及導數的幾何意義，分別求出曲線C₁在點M處的切線斜率k₁和曲線C₂在點N處的切線斜率k₂，因為兩條切線平行，所以k₁=k₂，解關于x₁，x₂，a，b的方程，整理成ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

，再令t=

x2

x1

，轉化為關于t的函數討論問題，根據其單調性得出lnt＞

2(t-1)

1+t

．這與①矛盾，因此假設不成立．可得C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

解答：解：（1）當a=b=

1

2

時，h(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x
則h′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=-

x2+x-2

2x

=-

(x+2)(x-1)

2x

，
∵h（x）的定義域為（0，+∞），令h'（x）=0，得x=1
∴當0＜x＜1時，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上是單調遞增；
當x＞1時，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上是單調遞減；
所以，函數h（x）=f（x）-g（x）的單調遞增區間為（0，1）；單調遞減區間為（1，+∞）．
（2）b=2時，h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x
則h′(x)=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

因為函數h（x）存在單調遞減區間，
所以h′（x）＜0有解．
即當x＞0時，則ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
①當a=0時，y=2x-1為單調遞增的一次函數，y=2x-1＞0在（0，+∞）總有解．
②當a＞0時，y=ax²+2x-1為開口向上的拋物線，y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解．
③當a＜0時，y=ax²+2x-1為開口向下的拋物線，而y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解，
則△=4+4a＞0，且方程y=ax²+2x-1=0至少有一個正根，
此時，-1＜a＜0
綜上所述，a的取值范圍為（-1，+∞）
（3）證：設點P、Q的坐標是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂
則點M，N的橫坐標為x=

x1+x2

2

C₁點在M處的切線斜率為k1=

1

x

|x=

x1+x2

2

=

2

x1+x2

，
C₂點N處的切線斜率為k2=ax+b|x=

x1+x2

2

=

a(x1+x2)

2

+b
假設C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂
即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，則

2(x2-x1)

x1+x2

=

a

2

(

x

2 2

-

x

2 1

)+b(x2-x1)=

a

2

(

x

2 2

+bx2)-(

a

2

x

2 1

+bx1)=y2-y1=lnx2-lnx1
∴ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

．
設t=

x2

x1

，則lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1①
令F(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．則F′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

因為t＞1時，F'（t）＞0，
所以F（t）在[1，+∞）上單調遞增．
故F（t）＞F（1）=0
則lnt＞

2(t-1)

1+t

．這與①矛盾，假設不成立．
故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、導數的幾何意義，函數與方程的討論等，屬于難題．