Question

設(shè)函數(shù)y=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸交點(diǎn)為P點(diǎn)，且曲線在P點(diǎn)處的切線方程為12x-y-4=0，若函數(shù)在x=2處取得極值0，試確定函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：函數(shù)y=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸交點(diǎn)為P點(diǎn)得到P的坐標(biāo)，代入到切線方程中求出P的坐標(biāo)又因?yàn)榍芯�方程為12x-y-4=0的斜率為12，導(dǎo)數(shù)y′|_x=0=12，求出y′，代入求出c，又根據(jù)函數(shù)在x=2處取得極值0，得到y(tǒng)′|_x=2=0，f（2）=0，求出a、b得到函數(shù)解析式．

解答：解：∵y=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸的交點(diǎn)為P，
∴P的坐標(biāo)為P（0，d）．又曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=12x-4，
P點(diǎn)坐標(biāo)適合方程，從而d=-4．
又切線斜率k=12，故在x=0處的導(dǎo)數(shù)y′|_x=0=12，
而y′=3ax²+2bx+c，y′|_x=0=c，從而c=12．
又函數(shù)在x=2處取得極值0，所以

y′ x=2=0 f(2)=0

，即

12a+4b+12=0 8a+4b+20=0

解得a=2，b=-9．
∴所求函數(shù)解析式為y=2x³-9x²+12x-4．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并會(huì)根據(jù)導(dǎo)數(shù)表示直線的斜率．理解極值的意義．