Question

（本小題滿分14分）
已知各項均為正數的數列{a_n}前n項和為S_n，(p – 1)S_n = p² – a_n，n ∈N^*，p > 0且p≠1，數列{b_n}滿足b_n = 2log_pa_n．
（Ⅰ）若p =，設數列的前n項和為T_n，求證：0 < T_n≤4；
（Ⅱ）是否存在自然數M，使得當n > M時，a_n > 1恒成立？若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：由(p – 1)S_n = p² – a_n(n∈N^*)                   ①
由(p – 1)S_{n – 1} = p² – a_{n – 1}                                     ②
① – ②得(n≥2)
∵a_n > 0(n∈N^*)
又(p – 1)S₁ = p² – a₁，∴a₁ = p
{a_n}是以p為首項，為公比的等比數列
a_n = p
b_n = 2log_pa_n = 2log_pp^{2 – n}
∴b_n =" 4" – 2n …………4分
證明：由條件p =得a_n = 2^{n – 2}
∴T_n =                          ①
                            ②
① – ②得

=" 4" – 2 ×
=" 4" – 2 ×
∴T_n =…………8分
T_n – T_{n – 1} =
當n > 2時，T_n – T_{n – 1}< 0
所以，當n > 2時，0 < T_n≤T₃ = 3
又T₁ = T₂ = 4，∴0 < T_n≤4．…………10分
（Ⅱ）解：若要使a_n > 1恒成立，則需分p > 1和0 < p < 1兩種情況討論
當p > 1時，2 – n > 0，n < 2
當0 < p < 1時，2 – n < 0，n > 2
        ∴當0 < p < 1時，存在M = 2
當n > M時，a_n > 1恒成立．…………14分

略