Question

如圖，橢圓的左焦點為F，上頂點為A，過點A作直線AF的垂線分別交橢圓、x軸于B，C兩點．
（1）若，求實數λ的值；
（2）設點P為△ACF的外接圓上的任意一點，當△PAB的面積最大時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可得，．利用兩直線垂直的關系可求直線AB的方程，及C的坐標，聯立直線AB與橢圓的方程可求B，利用向量的坐標表示可求 λ的值
（2）由已知可得△ACF的外接圓的圓心為D（1，0），半徑為2．從而可得圓D的方程為（x-1）²+y²=4．AB為定值，要求△PAB的面積最大時，轉化為求點P到直線AC的距離最大．利用圓的知識求解即可
解答：解：（1）由條件得，．
因為AB⊥AF，
所以，．
令y=0，得x=3，
所以點C的坐標為（3，0）．
由得13x²-24x=0，解得x₁=0（舍）．
所以點B的坐標為．
因為，所以λ＞0，且．
（2）因為△ACF是直角三角形，
所以△ACF的外接圓的圓心為D（1，0），半徑為2．
所以圓D的方程為（x-1）²+y²=4．
因為AB為定值，
所以當△PAB的面積最大時，點P到直線AC的距離最大．
過D作直線AC的垂線m，則點P為直線m與圓D的交點．
直線與（x-1）²+y²=4聯立得x=2（舍）或x=0，
所以點P的坐標為（0，-）
點評：本題主要考查了橢圓的基本概念，直線垂直關系的應用，向量共線的坐標表示，直線與橢圓的相交關系，及圓的知識的綜合應用，試題的運算較多，考查了運算的能力．