Question

【題目】設整數，對置于個點及點處的卡片作如下操作：操作：若某個點處的卡片數不少于3，則可從中取出三張，在三點、、處各放一張；操作：若點處的卡片數不少于，則可從中取出張，在個點處各放一張。證明：只要放置于這個點處的卡片總數不少于，則總能通過若干次操作，使得每個點處的卡片數均不少于。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

僅對卡片總數等于證明即可。否則，若放在題設個點處的卡片總數多于，則可以從中隨便拿掉一些，使卡片總數恰為。

1.先把個點處的卡片數均調整到不少于。

若某個點處的卡片數不少于3張，則實施操作，每一次這樣的操作均使得點處的卡片數增加1，經過若干次操作后，便不能再實施操作，此時，每個點處的卡片數至多2張，點處的卡片數至少張；再對點連續實施次操作，使得每個點處的卡片數至少有張。

2.保證每個點處的卡片數不少于張，經歷一些操作，使得點處的卡片數增加至張。

ⅰ.團與好團。

把個點理解為以為圓心的圓周上順次均勻分布的個點，定義相鄰點集（；規定為一個團；若一個團的每個點均經歷一次操作之后，各點處的卡片數均不少于，則稱之為好團。

ⅱ.好團的特征

記點處的卡片數為，則。

1個點的團是好團的充分必要條件為；

2個點的團是好團的充分必要條件為、；

個點的團是好團的充分必要條件為，且；

個點的團是好團的充分必要條件為。

ⅲ.當點處的卡片數少于時，必存在好團。

假設此時不存在好團。

則，且。

記滿足的點的個數分別為。

則。

下面證明：。

因為不是好團，所以，存在。

假設。則滿足的個點在圓周上沒有兩點相鄰（否則會出現兩個點的好團），且每兩個這樣的點之間至少存在一個滿足的點（否則會出現的好團），于是，必有。

故，矛盾。

因此，在點處的卡片數少于時，必存在好團。

ⅳ.對好團中每個點實施操作，使得點處的卡片數增加至，且有足夠的好團保證。