Question

甲袋中裝有若干質地、大小相同的黑球、白球，乙袋中裝有若干個質地、大小相同的黑球、紅球．某人有放回地從兩袋中每次取一球，甲袋中每取到一黑球得2分，乙袋中每取到一黑球得1分，取得其它球得零分，規定他最多取3次，如果前兩次得分之和超過2分即停止取球，否則取第三次，取球方式：先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球，此人在乙袋中取到一個黑球的概率為0.8，用ξ表示他取球結束后的總分，已知P（ξ=1）=0.24
（1）求隨機變量ξ的數學期望；
（2）試比較此人選擇每次都在乙袋中取球得分超過1分與選擇上述方式取球得分超過1 分的概率的大小．

Answer 1

解：（1）設此人在甲袋中取到一個黑球的概率為p，
則P（ξ=1）=（1-p）×0.8×0.2+（1-p）×0.2×0.8=0.24
P=0.25 …（2分）
依題意ξ的取值為0，1，2，3P（ξ=0）=（1-0.25）×（1-0.8）×（1-0.8）=0.03…（3分）
P（ξ=2）=0.25×（1-0.8）×（1-0.8）+0.75×0.8×0.8=0.49…（4分）
P（ξ=3）=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24…（5分）
Eξ=0×0.03+1×0.24+2×0.49+3×0.24=1.94…（7分）
（2）用A表示事件“該人選擇先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超過（1分）”
用B表示事件“該人選擇都在乙袋中取球，得分超過（1分）”則
P（A）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.49+0.24=0.73…（9分）
P（B）=0.8×0.8×0.2×3+0.8×0.8×0.8=0.896
故P（B）＞P（A）即該人選擇每次在乙袋中取球得分超過（1分）的概率大于該人選擇
先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超過（1分）的概率 …（12分）
分析：（1）設此人在甲袋中取到一個黑球的概率為p，然后根據P（ξ=1）求出p的值，然后分別求出ξ的取值為0，1，2，3時的概率，最后根據數學期望公式進行求解即可；
（2）用A表示事件“該人選擇先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超過（1分）”，用B表示事件“該人選擇都在乙袋中取球，得分超過（1分）”然后根據相互獨立事件的概率乘法公式求出P（B）與P（A），從而得到它們的大小關系．
點評：本題主要考查了離散型隨機變量的期望與相互獨立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．