Question

【題目】如圖，點分別為橢圓的左右頂點和右焦點，過點的直線交橢圓于點.

（1）若，點與橢圓左準線的距離為，求橢圓的方程；

（2）已知直線的斜率是直線斜率的倍.

①求橢圓的離心率；

②若橢圓的焦距為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①；②

【解析】

由所給條件列出關于的式子，求出橢圓方程；（2）①方法一，首先利用點在橢圓上，求得，再利用直線方程與橢圓方程聯立，求得，再利用的關系，求得橢圓離心率；方法二，利用的關系，分別設直線的方程為，直線的方程為，與橢圓方程聯立，解出點的坐標，利用點三點共線，求得離心率.②首先求得橢圓方程，并表示面積，由①方法一，代入根與系數的關系，求面積的最大值.

（1）∵，點與橢圓左準線的距離為，

∴解得

∴橢圓的方程為.

（2）①法一：顯然，，，設，，

則∵點在橢圓上，∴，

∴(i)，

設直線，

與橢圓聯立方程組消去得：

，其兩根為，

∴(*)

∴

，

將(*)代入上式化簡得：(ii)

又（iii）

由（i）（ii）（iii）得：，

∴，即，解得或，

又，∴，即橢圓的離心率為.

法二：顯然，，，

∵，∴設直線的方程為，直線的方程為.

由得，

注意到其一根為，∴另一根為，

∴，即，

同理由得.

由三點共線得，

∴，

化簡得：，∴，

∴，即橢圓的離心率為.

②由①，又橢圓的焦距為，∴，∴，∴，

由①方法一得

∴面積

，

令，，則，，

∵，∴在為減函數，

∴，即時，，即面積的最大值為.