已知正方形ABCD的中心在原點，四個頂點都在函數f（x）=ax3+bx（a＞0）圖象上．
（1）若正方形的一個頂點為（2，1），求a，b的值，并求出此時函數的單調增區間；
（2）若正方形ABCD唯一確定，試求出b的值．
分析：（1）先依據待定系數法求a，b的值，得函數的解析式，再求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間．
（2）設正方形ABCD對角線AC所在的直線方程為y=kx，則其斜率唯一確定，轉化為二元方程只有唯一實數根，利用根的判別式求解即可．
解答：解：（1）因為一個頂點為（2，1），
所以必有另三個頂點（-2，-1），（1，-2），（-1，2），
將（2，1），（1，-2）代入y=ax
3+bx，得
a=，
b=-．（4分）
所以
f(x)=x3-x．
因為
f′(x)=(15x2-17)，令f′（x）＞0，得
x＞或
x＜-，
所以函數f（x）單調增區間為
(- ∞， -)和
(， +∞)．（6分）
（2）設正方形ABCD對角線AC所在的直線方程為y=kx（k≠0），
則對角線BD所在的直線方程為
y=-x．
由
解得
x2=，
所以
AO2=x2+y2=(1+k2)x2=(1+k2)•，
同理，
BO2=[1+(-)2]•=-•，
又因為AO
2=BO
2，所以
k3-k2b++b=0．（10分）
即
k2+-b(k-)=0，即
(k-)2-b(k-)+2=0．
令
k-=t得t
2-bt+2=0
因為正方形ABCD唯一確定，則對角線AC與BD唯一確定，于是
k-值唯一確定，
所以關于t的方程t
2-bt+2=0有且只有一個實數根，又
k-=t∈R．
所以△=b
2-8=0，即
b=±2．（14分）
因為
x2=＞0，a＞0，所以b＜k；又
＞0，所以
b＜-，故b＜0．
因此
b=-2；
反過來
b=-2時，
t=-，
k-=-，
于是
k=，
-=；或
k=，
-=于是正方形ABCD唯一確定．（16分）
點評：本小題主要考查函數的解析式的求法以及導數，單調性，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．
已知正方形ABCD的邊長為2，中心為O，四邊形PACE是直角梯形，設PA⊥平面ABCD，且PA=2，CE=1，
如圖，已知正方形ABCD的中心為E（-1，0），一邊AB所在的直線方程為x+3y-5=0，求其它三邊所在的直線方程．