Question

已知在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，向量

m

=(2

3

sin

B

2

，

3

2

)，

n

=(sin(

B

2

+

π

2

)，1)，且

m

•

n

=

3

（1）求角B的大小；
（2）若角B為銳角，a=6，S△ABC=6

3

，求實數b的值．

Answer 1

分析：（1）通過向量的數量積以及二倍角的正弦函數，求出B的正弦函數值，然后求出角B的大小；
（2）通過角B為銳角，a=6，S△ABC=6

3

，求出c的大小，利用余弦定理直接求實數b的值．

解答：解：（1）因為向量

m

=(2

3

sin

B

2

，

3

2

)，

n

=(sin(

B

2

+

π

2

)，1)，且

m

•

n

=

3

所以

m

•

n

=2

3

sin 

B

2

cos

B

2

+

3

2

=

3

，
∴sinB=

1

2

，因為B是三角形內角，所以B=

π

3

或B=

2π

3

．
（2）因為角B為銳角，a=6，S△ABC=6

3

，
所以

1

2

acsinB=6

3

，所以c=4，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=36+16-24=28，
所以實數b=2

7

．

點評：本題通過平面向量的數量積考查二倍角公式、三角形的面積以及余弦定理的應用，考查計算能力．