Question

過雙曲線的一個焦點F₂作垂直于實軸的弦PQ，F(xiàn)₁是另一焦點，若∠PF1Q=

π

2

，則雙曲線的離心率e等于

2

+1

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成兩個全等的等腰直角三角形．由此結合雙曲線的定義，可解出a=（

2

-1）c，即可得到該雙曲線的離心率．

解答：解：根據(jù)雙曲線的對稱性得|PF₁|=|QF₁|，
∵△PQF₁中，∠PF1Q=

π

2

，
∴△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成兩個全等的等腰直角三角形
因此，Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=|PF₂|=2c，|PF₁|=

2

|F₁F₂|=2

2

c
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴2

2

c-2c=2a，可得a=（

2

-1）c
由此可得，雙曲線的離心率e=

c

a

=

c

( 2 -1)c

=

2

+1
故答案為：

2

+1

點評：本題給出雙曲線方程，在已知過右焦點的通徑和左焦點構成直角三角形的情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎題．