Question

附加題必做題如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設AD=1，D₁D=λ（λ＞0），若棱C₁C上存在點P滿足A₁P⊥平面PBD，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：先以D為原點建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標和相關向量的坐標，其中P點的坐標要設出來，再利用線面垂直的定義，由

A1P

•

BP

=0，得關于λ的等式，求其范圍即可

解答：解：如圖，以點D為原點O，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸建立
空間直角坐標系O-xyz，則D（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，λ），
設P（0，1，x），其中x∈[0，λ]，
則

BP

=（-1，0，x），

A1P

=（-1，1，x-λ）
因為A₁P⊥平面PBD，所以A₁P⊥PB
所以

A1P

•

BP

=0，
即（-1，1，x-λ）•（-1，0，x）=0，
化簡得x²-λx+1=0，x∈[0，λ]，
故判別式△=λ²-4≥0，且λ＞0，
解得λ≥2．

點評：本題考查了利用空間向量和空間直角坐標系解決線面垂直和點的存在性問題的方法．