Question

下列命題：
①命題“事件A與B互斥”是“事件A與B對立”的必要不充分條件．
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要條件．
③“矩形的兩條對角線相等”的否命題為假．
④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三個角成等差數列的充要條件．
⑤△ABC中，若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形．
判斷錯誤的有

②⑤

．

Answer 1

分析：命題①中事件A與事件B互斥，事件A與事件B不一定對立，但相互對立的兩事件一定互斥；
命題②中，要考慮m是否為零，若m²≠0，不等式兩邊同乘以

1

m2

得，a＜b；若m²=0時，由a＜b不能得到am²＜bm²；
命題③中，原命題的否命題為：“若四邊形不是矩形，則其對角線不相等．”等腰梯形不是矩形，但其對角線相等；
命題④利用三角形內角和定理及等差中項概念，根據∠B=60°推出∠A、∠B、∠C成等差數列，反之，由∠A、∠B、∠C成等差數列，能推出∠B=60°；
命題⑤把余弦轉化為正弦，然后由sinA=sin（90°-B）得到A=90°-B或A+90°-B=180°．

解答：解：事件A與B互斥，事件A與B不一定對立；反之事件A與B對立，一定有事件A與B互斥．所以“事件A與B互斥”是“事件A與B對立”的必要不充分條件．所以命題①正確．
由am²＜bm²知m²＞0，不等式兩邊同乘以

1

m2

得，a＜b，反之，若a＜b，則取m²=0時不能得到am²＜bm²，故am²＜bm²是a＜b的充分不必要條件，故命題②不正確．
原命題：矩形的兩條對角線相等．則其否命題為：若四邊形不是矩形，則其對角線不相等．此否命題為假命題，如等腰梯形不是矩形，但其對角線相等，故命題③正確．
在△ABC中，若∠B=60°，因為∠A+∠B+∠C=180°，得∠A+∠C=180°-∠B=180°-60°=120°，所以2∠B=∠A+∠C，所以∠A，∠B，∠C三個角成等差數列．
若∠A，∠B，∠C三個角成等差數列，可設公差為d，則∠A=∠B-d，∠C=∠B+d，由∠A+∠B+∠C=180°，得∠B-d+∠B+∠b+d=180°，∴∠B=60°．
所以在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三個角成等差數列的充要條件，故命題④正確．
在△ABC中，若sinA=cosB，則sinA=sin（90°-B），所以A=90°-B或A+90°-B=180°，所以A+B=90°或A-B=90°，則△ABC不一定為直角三角形，故命題⑤不正確．
故答案為②⑤．

點評：本題考查判斷命題的真假，命題①②④著重考查判斷充要條件的方法，判斷充要條件最常用的方法是定義法，即“若p⇒q，則p是q的充分條件”；“若q⇒p，則p是q成立的必要條件”；“若p?q，則p是q的充要條件”．解答命題⑤的關鍵是不要漏掉兩角的終邊關于y軸對稱的情況．