Question

【題目】如圖橢圓的上下頂點為A、B，直線： ，點P是橢圓上異于點A、B的任意一點，連結AP并延長交直線于點N，連結BP并延長交直線于點M，設AP、BP所在直線的斜率分別為，若橢圓的離心率為，且過點，（1）求的值，并求最小值；（2）隨著點P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過定點，若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）， 的最小值為（2）

【解析】試題分析：（1）由題意可知，又，解出得到橢圓方程，設橢圓上點，代入橢圓方程，再由斜率公式，即可得到的值，設，求出，再由基本不等式求出的最小值；（2）設，則以為直徑的圓的方程為，化簡整理，若圓過定點，則有，化簡整理，若圓過定點，則有，解出即可判斷.

試題解析：（1）因為，所以此橢圓的方程是;

設點P的坐標為，有，所以,

設，則，可得;

不妨設，則，所以當且僅當時， 的最小值為；

（2）因為，則以M、N為直徑的圓的方程為，即，因圓過定點，則有，解得，即定點為.