Question

寒假期間，我市某校學生會組織部分同學，用“10分制”隨機調查“陽光花園”社區人們的幸福度，現從調查人群中隨機抽取16名，如果所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉）；若幸福度分數不低于8.5分，則該人的幸福度為“幸福”.

（1）求從這16人中隨機選取3人，至少有2人為“幸福”的概率；
（2）以這16人的樣本數據來估計整個社區的總體數據，若從該社區（人數很多）任選3人，記表示抽到“幸福”的人數，求的分布列及數學期望.

Answer 1

(1)(2)

試題分析：
(1)首先通過莖葉圖分析可得16人中,幸福的人有12人,則考慮通過計算事件這16人中隨機選取3人，至少有2人為“幸福”的對立事件,即從這16人中隨機抽取3人,至多1人是幸福的,也就是抽取的3人的只有1人或者沒有人是幸福的,利用組合數計算得到16抽取3人的所有的基本事件,再分步計數原理用組合數計算得到對立事件所包含的基本事件,再利用古典概型的概率計算公式即可得到對立事件的概率,則所求事件的概率為1減去對立事件的概率.
(2)因為16人中有12人是幸福的,即該社區中幸福的人占,非幸福人數占,有題可得可得的取值可以是0,1,2,3,則利用獨立試驗同時發生的概率計算公式可以得到分別為0,1,2,3時所對應的概率,即可得到分布列,再把的值域對應概率相乘之和即可得到期望.
試題解析：
（1）記至少有2人是“幸福”為事件，由題意知
=1--=1--=；       6分
（2）的可能取值為0，1，2，3.
，
，
，
，     10分
所以的分布列為：
 
     12分