Question

【題目】已知指數函數的圖象經過點，在區間的最小值；

（1）求函數的解析式；

（2）求函數的最小值的表達式；

（3）是否存在同時滿足以下條件:①；②當的定義域為時，值域為；若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）設，由點在圖象上，得出，求出的值，即可得出函數的解析式；

（2）利用換元法得出，討論的取值，由二次函數的性質得出函數的最小值的表達式；

（3）當時，函數在上為減函數，由值域為，列出方程組，得出，由于，則不存在滿足條件的的值.

（1）設，且

∵指數函數的圖象經過點，∴，即，∴，

（2）令，∵

∴

∴，對稱軸為

當時，在上為增函數，此時當時，

當時，在上為減函數，在上為增函數，此時當時，

當時，在上為減函數，此時當時，

∴.

（3）由（2）得時，在中為減函數，若此時值域為.則，即，即，與矛盾，故不存在滿足條件的的值.