Question

（2011•邢臺一模）設a_n是(3-

x

)n的展開式中x項的系數（n=2、3、4、…），則

lim

n→∞

(

32

a2

+

33

a3

+…+

3n

an

)=

18

．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數為1，求出a_n，再由

3n

an

=

3n

C 2 n •3n-2

=9×

2

n(n-1)

=

18

n(n-1)

=18×(

1

n-1

-

1

n

)，能求出

lim

n→∞

(

32

a2

+

33

a3

+

34

a4

+…+

3n

an

)．

解答：解：展開式的通項為 Tr+1=(-1)r3n-r

C

r n

x

r

2

令

r

2

=1得r=2
∴a_n=3^n-2C_n²．

3n

an

=

3n

C 2 n •3n-2

=9×

2

n(n-1)

=

18

n(n-1)

=18×(

1

n-1

-

1

n

)，
∴

lim

n→∞

(

32

a2

+

33

a3

+

34

a4

+…+

3n

an

)
=

lim

n→∞

{18×[(1-

1

2

) +(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]}
=

lim

n→∞

[18×(1-

1

n

)]
=18．
故答案為：18．

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題、考查由函數解析式求函數值問題．解題時要注意裂項求和公式的合理運用．