Question

如圖，在長(zhǎng)方體AC₁中，，點(diǎn)E、F分別是面A₁C₁、面BC₁的中心．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所為直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，試用向量方法解決下列問題：
（1）求異面直線AF和BE所成的角；
（2）求直線AF和平面BEC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出A、F、B、E、C的坐標(biāo)，求出，即可求異面直線AF和BE所成的角；
（2）求出，平面BEC的一個(gè)法向量，利用，求直線AF和平面BEC所成角的正弦值．
解答：解：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A（2，0，0），F(xiàn)（1，2，），
B（2，2，0），E（1，1，），C（0，2，0）．
∴，…（4分）
∴=1-2+1=0…（6分）
所以AF和BE所成的角為90°．…（7分）
（2）設(shè)平面BEC的一個(gè)法向量為，
又 ，，
則：，．
∴x=0，令z=1，則：，∴=（0，，1）．…（10分）
∴．…（12分）
設(shè)直線AF和平面BEC所成角為θ，則：．
即 直線AF和平面BEC所成角的正弦值為．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，異面直線所成的角的求法，直線與平面所成角的求法，考查計(jì)算能力．