Question

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)。

（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率K_ON ；

（2）對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。

Answer 1

（1）

（2）見解析

解析:

 (1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?img width=56 height=45 id="_x268A6113MjDk_i1036" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/193/118793.gif">，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為：      ①                     ………2分

易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），

據(jù)題意有AB所在的直線方程為：   ②                     ………3分

由①，②有：         ③

設(shè)，弦AB的中點(diǎn)，由③及韋達(dá)定理有：

 

所以，即為所求。                                    ………5分

(2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得等式成立。設(shè)，由1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：

，所以

。                                   ………7分

又點(diǎn)在橢圓C上，所以有整理為。           ④

由③有：。所以

   ⑤

又A﹑B在橢圓上，故有                ⑥

將⑤，⑥代入④可得：。                                ………11分

對(duì)于橢圓上的每一個(gè)點(diǎn)，總存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使等式成立，而

在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)P（），設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然 。

也就是：對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。