Question

城市的空氣質量以其空氣質量指數API（為整數）衡量，指數越大，級別越高，說明污染越嚴重，對人體健康的影響也越明顯．根據空氣質量指數API的不同，可將空氣質量分級如下表：

API	0～50	51～100	101～150	151～200	201～250	251～300	＞300
狀況	優	良	輕微污染	輕度污染	中度污染	中度重污染	重度污染

為了了解某城市2011年的空氣質量情況，現從該城市一年空氣質量指數API的監測數據庫中，用簡單隨機抽樣方法抽取30個空氣質量指數API進行分析，得到如下數據：

API分組	[41，51）	[51，61）	[61，71）	[71，81）	[81，91）	[91，101）	[101，111]
頻數	2	1	4	6	10	5	2

（Ⅰ）完成下面頻率分布直方圖，并求質量指數API的中位數大小；
（Ⅱ）估計該城市一年中空氣質量為優良的概率；
（Ⅲ）請你依據所給數據和上述分級標準，對該城市的空氣質量給出一個簡短評價．

Answer 1

分析：（I）由已知中的API分組的頻數，結合頻率=

頻數

樣本容量

可求出各組的頻率，再由頻率分布直方圖中，矩形的高=

頻率

組距

，求出各組矩形的高，進而可畫出滿足條件的頻率分布直方圖；
（II）由已知統計出滿足條件的頻數，結合頻率=

頻數

樣本容量

，可得答案；
（III）本小題是一個開放型題目，可以結合樣本數據估計該市一年中空氣質量優良的概率P=0.933及樣本數據該市樣本API在80以上的接近輕微污染的樣本數有15個，加上處于輕微污染的樣本數有17個，占樣本數的

17

30

，超過50%，進行說明．

解答：解：（1）頻率分布直方圖如下圖所示：

設質量指數API的中位數為x，
則

2

30

+

1

30

+

4

30

+

6

30

+

10

300

×（x-81）=

1

2

解得x=83…6分
（II）由統計圖表知，樣本API數據在0～100間的有28個，樣本容量為30
∴樣本中API數據在0～100之間的頻率f=

28

30

=0.933，
故由頻率估計該城市一年空氣質量優良的概率P=0.933．---------（9分）
（Ⅲ）（答對下面的一條即可）
①由樣本數據估計該市一年中空氣質量優良的概率P=0.933．也就是一年中處于優或良的天數大約有341天，說明該城市空氣質量基本良好．
②由樣本數據該市樣本API在80以上的接近輕微污染的樣本數有15個，加上處于輕微污染的樣本數有17個，占樣本數的

17

30

，超過50%，說明該市一年有超過50%的天數空氣質量接近輕微污染或處于輕微污染，因此該市的空氣質量有待進一步改善．----------------（12分）

點評：本題考查的知識點是用樣本的頻率分布估計總體分布，頻率分布直方圖，其中熟練掌握頻率=

頻數

樣本容量

，矩形的高=

頻率

組距

，是解答本題的關鍵．