Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，側棱AA₁⊥面ABC，D、E分別是棱A₁B₁、AA₁的中點，點F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

Answer 1

（I）詳見解析；（II）二面角E－BC₁－D的余弦值為．

試題分析：（I）由于EF與BD在同一個平面內，顯然考慮在ABB₁A₁這個平面內證明這兩條直線平行，這完全就是平面幾何的問題了.取AB的中點M，，所以F為AM的中點，又因為E為的中點，所以.又分別為的中點，，且，所以四邊形為平行四邊形，，，由此可得平面.
（II）取AB的中點M，則MB、MC、MD兩兩垂直，所以可以以M為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角E－BC₁－D的余弦值.
試題解析：（I）證明：取AB的中點M，
，所以F為AM的中點，又因為E為的中點，所以.
在三棱柱中，分別為的中點，
，且，
所以四邊形為平行四邊形，，
，又平面，平面，
所以平面.

（II）以AB的中點M為原點，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，

則，，，，
∴，，．
設面BC₁D的一個法向量為，面BC₁E的一個法向量為，
則由得取，
又由得取，
則，
故二面角E－BC₁－D的余弦值為．       12分