Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，，是等邊三角形，點(diǎn)在上，且．

（1）證明：//平面．

（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，通過(guò)證明//，即可推證線面平行；

（2）取中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得對(duì)應(yīng)平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值即可.

（1）連接交于點(diǎn)，連接．

∵在等腰梯形中，，，

//，∴，∵，∴，

∴，∴//，

又平面，平面，

∴//平面．

（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，顯然．

又平面平面，平面平面，

所以平面．

因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，且在等腰梯形中，，

所以．以為原點(diǎn)建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，

，，，

∴，

∴

易得為平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

可得，故，

令，可得，，則．

設(shè)二面角的平面角為，則，

即二面角的余弦值為．