Question

已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為4，側棱長為8，E，F分別是PB，PC上的點，求△AEF的周長最小值．

Answer 1

沿三棱錐P-ABC的側棱PA剪開后再展開，如圖，

原圖中△AEF的周長最小，也就是展開圖中的AA^′，
在△PAB中，因為PA=PB=8，AB=4，
設∠APB=α，則cosα=

PA2+PB2-AB2

2PA•PB

=

82+82-42

2×8×8

=

7

8

．
∠APA^′=3α，
由cos3α=4cos³α-3cosα=4×(

7

8

)3-3×

7

8

=

7

128

．
在△APA^′中，由余弦定理得：
AA^′2=PA²+PA^′2-2PA•PA^′cos3α
=82+82-2×8×8×

7

128

=121．
所以，AA^′=11．
所以，△AEF的周長最小值為11．