Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的最大值；

（2）若只有一個極值點.

（i）求實數的取值范圍；

（ii）證明：.

Answer 1

【答案】(1) 最大值為-1. (2) （i）（ii）證明見解析

【解析】

（1）當時，，令，利用導數求得函數的單調性，即可求得函數的最大值；

（2）由，得到，分和討論，求得函數的單調性與最值，結合函數的性質，即可得到答案.

（1）當時，，.

令，則，

∴在上單調遞增，在上單調遞減

∴，故的最大值為-1.

（2），.

①當時，在恒成立，則在單調遞增.

而，當時，，

則，且，∴使得.

∴當時，，則單調遞減；

當時，，則單調遞增，∴只有唯一極值點.

②當時，

當時，，則單調遞增；

當時，，則單調遞減，∴.

（i）當即時，在恒成立，則在單調遞減，無極值點，舍去.

（ii）當即時，.

又，且，∴使得.

由（1）知當時，，則

∴

則，且，∴使得.

∴當時，，則單調遞減；

當時，，則單調遞增；

當時，，則單調遞減.

∴有兩個極值點，，舍去.

綜上，只有一個極值點時，

∵，∴，

∴，.

令，∴，則在單調遞減

∴當時，，∴.