Question

在平面直角坐標系xOy中，圓C：x²+y²=4分別交x軸正半軸及y軸負半軸于M，N兩點，點P為圓C上任意一點，則

PM

•

PN

的最大值為

4+4

2

．

Answer 1

分析：利用向量的數量積及三角函數的單調性即可求出．

解答：解：令x=0，得y²=4，解得y=±2，取N（0，-2）．
令y=0，得x²=4，解得x=±2，取M（2，0）．
設點P（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π））．
則

PM

•

PN

=（2-2cosθ，-2sinθ）•（（-2cosθ，-2-2sinθ）
=-2cosθ（2-2cosθ）+2sinθ（2+2sinθ）
=4sinθ-4cosθ+4
=4

2

sin(θ-φ）+4≤4+4

2

，當且僅當sin（θ-φ）=1時取等號．
∴

PM

•

PN

的最大值為 4+4

2

．
故答案為 4+4

2

．

點評：熟練掌握向量的數量積及三角函數的單調性是解題的關鍵．