Question

【題目】(1)向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，求|a＋b|和a＋b與c的夾角；

(2)設O為△ABC的外心，已知AB＝3，AC＝4，非零實數x，y滿足＝x＋y，且x＋2y＝1，求cos ∠BAC的值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)∵a⊥c，∴2x－4＝0，x＝2，

∵b∥c，∴－4－2y＝0，y＝－2.

∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，

∴|a＋b|＝＝.

設a＋b與c的夾角為θ，則cos θ＝＝＝.

∵0≤θ≤π，∴θ＝，即a＋b與c的夾角為.

(2)設AC的中點為D，連接OD(圖略)，

∵＝x＋y＝x＋2y，

又x＋2y＝1，∴O，B，D三點共線．

由O為△ABC外心，知OD⊥AC，BD⊥AC，

在Rt△ADB中，AB＝3，AD＝AC＝2，所以cos ∠BAC＝＝.