Question

【題目】已知函數，，.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先對求導,再求得,即為切線斜率,進而可求得切線方程；

（2）設,求導可得,通過討論的范圍,問題轉化為恒成立,得到,令,,根據函數的單調性求出的最大值即可.

解:（1）因為,所以,

又,所以該切線方程為

（2）設,則恒成立,

易得,

（i）當時,,此時在上單調遞增,

①若,則當時滿足恒成立,

此時；

②若,取且，

此時,所以不恒成立,不滿足條件.

（ii）當時,

令,得,

當時,；當時,.

所以在上單調遞減,在上單調遞增.

要使恒成立,必須有當時,恒成立,

所以,

故,

令,,則,

令,得,

當時,得；當時,得,

所以在上單調遞增,在上單調遞減,

所以當時,的值最大,,

從而,當,時,的值最大為,

綜上,的最大值為