Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．
（1）請用尺子把右邊圖形畫在答題卡上
（2）試確定點F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F
（3）當D₁E⊥平面AB₁F時，求二面角C₁-EF-A的余弦值．

Answer 1

分析：（2）建立空間直角坐標系，表示出直線D₁E所在的向量與AF所在的向量，利用線面垂直關系得到向量的數量積為0，進而得到答案．
（3）分別求出兩個平面的法向量，再求出兩個向量的夾角，利用向量的夾角與二面角之間的關系可得二面角的余弦值．

解答：解：（1）如圖
（2）以點A為原點，

AB

，

AD

，

AA1

分別為x軸，y軸，z軸正向建立如圖所示空間直角坐標系A-xyz，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A（0，0，0），B₁（1，0，1），E（1，

1

2

，0）
設F（a，1，0）（0≤a≤1）則

D1E

=(1，-

1

2

，-1)，

AB1

=(1，0，1)，

AF

=(a，1，0)，
∴

D1E

• 

AB1

=0即D₁E⊥AB₁
要使得D₁E⊥平面AB₁F，
∴必須且只需

D1E

⊥

AF

即

D1E

•

AF

=a-

1

2

=0，即：a=

1

2

．
當a=

1

2

時，點F為CD的中點，則D₁E⊥AF
又因為D₁E⊥AB₁，AF∩AB₁=A
所以D₁E⊥平面AB₁F．
所以當點F為CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F．
（3）由（2）可得點F為CD的中點，所以F（

1

2

，1，0），所以

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)．
因為C1(1，1，1)，E(1，

1

2

，0)，所以

EC1

=(0，

1

2

，1)．
設

n

=(x，y，z)是平面C1EF的一個法向量，
則

n

⊥

EC1

，

n

⊥

EF

，
于是

n • EC1 = 1 2 y+z=0  n • EF =- 1 2 x+ 1 2 y=0

取z=1，則y=-2，x=-2，所以

n

=（-2，-2，1）是平面C₁EF的一個法向量．
又因為

AA1

=（0，0，1）是平面AEF的一個法向量，
所以cos＜

AA1

，

n

＞=

AA1 • n

| AA1 || n |

=

1

3

，
因為二面角C₁-EF-A為鈍角，所以二面角C₁-EF-A的余弦值-

1

3

．

點評：解決此類問題要熟悉幾何體的結構特征，以便建立空間直角坐標系進而利用空間向量解決線面垂直、平行關系，以及空間角與空間距離等問題．