Question

已知拋物線C：y²=4x，P（x₀，y₀）（y₀＞0）為拋物線上一點，Q為P關于x軸對稱的點，O為坐標原點．
（1）若S_△POQ=2，求P點的坐標；
（2）若過滿足（1）中的點P作直線PA，PB交拋物線C于A，B兩點，且斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂=4，求證：直線AB過定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

分析：（1）利用P（x₀，y₀）（y₀＞0）為拋物線上一點，S_△POQ=2，建立方程，即可求P點的坐標；
（2）設直線AB的方程與拋物線聯立，利用韋達定理，及k₁k₂=4，化簡可得結論．

解答：（1）解：由題意得，S△POQ=

1

2

x02y0=2，∴

y03

4

=2，∴y₀=2，即P（1，2）…（4分）
（2）證明：設直線AB的方程為x=my+b，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
直線與拋物線聯立得y²-4my-4b=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b
由k₁k₂=4，即

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=4，整理得

y1y2-2(y1+y2)+4

x1x2-(x1+x2)+1

=4
即

y1y2-2(y1+y2)+4

1 16 y1y2- 1 4 [(y1+y2)2-2y1y2]+1

=4，
把韋達定理代入得（b-2m）（b+2m-1）=0b=2m或b=-2m+1（舍）…（10分）
所以直線AB過定點（0，-2）…（12分）

點評：本題考查三角形面積的計算，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．