Question

已知函數f(x)=

x+1-a

a-x

，a∈R．利用函數y=f（x）構造一個數列{x_n}，方法如下：對于定義域中給定的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n∈N^*），…如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}．
（1）求實數a的值；
（2）若x₁=1，求（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）的值；
（3）設T_n=（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）（n∈N^*），試問：是否存在n使得T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006成立，若存在，試確定n及相應的x₁的值；若不存在，請說明理由？

Answer 1

分析：（1）根據題意可知，當x≠a時方程（1+a）x=a²+a-1無解，所以對于任意x∈R，（1+a）x=a²+a-1無解．由此能求出a．
（2）當a=-1時，對于x₁≠-1，有x2=f(x1)=-

x1+2

x1+1

，x3=f(x2)=-

x2+2

x2+1

=x1，同理得x_n+2=x_n對一切n∈N^*都成立，即數列{x_n}是一個以2為周期的周期數列．由此能求出（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）的值．
（3）由Tn=

1+x1，n=4k-3 -1，n=4k-2 -(1+x1)，n=4k-1 1，n=4k

(k∈N*)，知T_k+T_k+1+T_k+2+T_k+3=0（k∈N^*），若T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006，則T_n+T_n+1+T_n+2=2006（n∈N^*），由此能求出當n=4k，x₁=2005或n=4k-2，x₁=-2007時T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006．

解答：解：（1）根據題意可知，x_i≠a（i=1，2，3，…），
則x≠a，
且方程

x+1-a

a-x

=a無解，--（2分）
即當x≠a時方程（1+a）x=a²+a-1無解，
由于x=a不是方程（1+a）x=a²+a-1的解，
所以對于任意x∈R，（1+a）x=a²+a-1無解．
則a+1=0，且 a²+a-1≠0，
故a=-1．-----（6分）
（2）當a=-1時，對于x₁≠-1，
有x2=f(x1)=-

x1+2

x1+1

，x3=f(x2)=-

x2+2

x2+1

=x1，
同理得x_n+2=x_n對一切n∈N^*都成立，
即數列{x_n}是一個以2為周期的周期數列．--（10分）
則x2n-1=1，x2n=-

3

2

，
故(x1+1)(x2+1)…(xn+1)=

2，n=4k-3 -1，n=4k-2 -2，n=4k-1 1，n=4k

(k∈N*)-----（12分）
（3）由（2）易知：Tn=

1+x1，n=4k-3 -1，n=4k-2 -(1+x1)，n=4k-1 1，n=4k

(k∈N*)-----（14分）
則T_k+T_k+1+T_k+2+T_k+3=0（k∈N^*），
若T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006，
則T_n+T_n+1+T_n+2=2006（n∈N^*），
又Tn+Tn+1+Tn+2=

1+x1，n=4k -1，n=4k-3 -(1+x1)，n=4k-2 1，n=4k-1

(k∈N*)-----（18分）
故當n=4k，x₁=2005或n=4k-2，x₁=-2007時，
T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006-（20分）

點評：本題考查函數與數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．