Question

如圖所示，機器人海寶按照以下程序運行：
①從A出發到達點B或C或D，到達點B、C、D之一就停止
②每次只向右或向下按路線運行
③在每個路口向下的概率

1

3

④到達P時只向下，到達Q點只向右
（1）求海寶過點從A經過M到點B的概率，求海寶過點從A經過N到點C的概率；
（2）記海寶到點B、C、D的事件分別記為X=1，X=2，X=3，求隨機變量X的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）由題意，向下概率為

1

3

，則向右概率為1-

1

3

=

2

3

．從A過M到B，先有兩次向下，再有一次向下與一次向右組合，可求其概率，同理可求海寶過點從A經過N到點C的概率；
（2）求出X=1，X=2，X=3相應的概率，從而可求隨機變量X的分布列及期望．

解答：解：（1）由題意，向下概率為

1

3

，則向右概率為1-

1

3

=

2

3

．
從A過M到B，先有兩次向下，再有一次向下與一次向右組合，其概率為(

1

3

)2

C

1 2

•

1

3

•

2

3

=

4

81

；
從A過N到C，概率為

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

=

16

81

（7分）
（2）P（X=1）=（

1

3

）³+

C

2 3

（

1

3

）² 

2

3

×

1

3

=

3+6

81

=

9

81

；P（X=2）=

C

2 4

（

1

3

）²（

2

3

）²=

24

81

；P（X=3）=（

2

3

）³+

C

2 3

（

2

3

）²

1

3

×

2

3

=

24+24

81

=

48

81

，
∴E（X）=

9

81

+

24

81

×2+

48

81

×3=

201

81

=

67

27

（14分）

點評：本題考查概率的計算，考查隨機變量X的分布列及期望，求出相應的概率是關鍵．