Question

如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，各棱長都相等，D、E分別為AC₁，BB₁的中點。（1）求證：DE∥平面A₁B₁C₁；（2）求二面角A₁—DE—B₁的大小。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

解析:

（1）取A₁C₁中點F，連結B₁F，DF，∵D₁E分別為AC₁和BB₁的中點，DF∥AA₁，

DF=（1/2）AA₁，B₁E∥AA₁，B₁E=（1/2）AA₁，∴DF∥B₁E，DF=B₁E，∴DEB₁F為平行四邊形，∴DE∥B₁F，又B₁F在平面A₁B₁C₁內，DE不在平面A₁B₁C₁，∴DE∥平面A₁B₁C₁

（2）連結A₁D，A₁E，在正棱柱ABC—A₁B₁C₁中，因為平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，A₁C₁是平面A₁B₁C₁與平面ACC₁A₁的交線，又因為B₁F在平面A₁B₁C₁內，且B₁F⊥A₁C₁，，所以B₁F⊥平面ACC₁A₁，又DE∥B₁F，所以DE⊥平面ACC₁A₁所以∠FDA₁為二面角A₁—DE—B₁的平面角。并且∠FDA₁=（1/2）∠A₁DC₁，設正三棱柱的棱長為1，因為∠AA₁C₁=90⁰，D是AC₁的中點，所以即為所求的二面角的度數。