Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂．過右焦點(diǎn)F₂且與x軸垂直的直線l與橢圓C相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），直線BF₂交橢圓C于另一點(diǎn)N，求△F₁BN的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知易得c值與線段MF₂的長度，在直角三角形MF₁F₂中勾股定理求出a即可寫出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）此題可轉(zhuǎn)化為求以線段為底邊的兩個(gè)三角形的和問題，一個(gè)三角形的高為b，另一個(gè)為|y_n|．故只須求y_n即可．
解答：解：（1）由橢圓定義可知|MF₁|+|MF₂|=2a．由題意|MF₂|=1，
∴?|MF₁|=2a-1．又由Rt△MF₁F₂可知，a＞0，
∴?a=2，又a²-b²=2，得b²=2．∴橢圓C的方程為．
（2）直線BF₂的方程為．
由
得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為．又，
∴．
點(diǎn)評(píng)：考查求橢圓的方程，及橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積，是直線與橢圓位置關(guān)系中一類相對(duì)來說比較簡單點(diǎn)的題．