Question

（本小題滿分9分）   如圖，四棱錐S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,點E是SD上的點，且DE＝a(0<≦1).   

(Ⅰ)求證：對任意的（0、1），都有AC⊥BE:

(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小為60⁰C，求的值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；(II) 。

【解析】運用三垂線定理證明線線垂直，第二問是告訴二面角求參數(shù)的值，這是二面角的逆向問題，仍然要作出二面角，求二面角才能解出參數(shù)。這題除了用傳統(tǒng)的證法與求角的方法外，也可以應(yīng)用空間向量來解決。

解：（Ⅰ）證發(fā)1：連接BD，由底面是正方形可得ACBD。

   SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂線定理得ACBE.

(II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDCD.

又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。

過點D在平面SAD內(nèi)做DFAE于F，連接CF，則CFAE，

故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60° 

在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。

于是，DF=

在Rt△CDF中，由cot60°=

得，       即=3 解得。