Question

關于函數f(x)=

ex+e-x

2

(x∈R)，下列說法不正確 的是（　　）

A．f（x）的圖象關于y軸對稱

B．f（x）在（0，+∞）上單調遞增

C．f（x）存在最小值

D．f（x）存在零點

Answer 1

分析：對于A：從函數的奇偶性方面考慮；對于B：先對函數f（x）求導，根據導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減，求出單調區間，即可得到答案．對于C：利用基本不等式即可解決；對于D：根據指數函數的值域知f（x）＞0恒成立，從而進行判斷．

解答：解：對于A：由于f（-x）=f（x），是偶函數，f（x）的圖象關于y軸對稱；故正確；
對于B：先對函數f（x）求導f′（x）=

ex-e-x

2

，在（0，+∞）上f′（x）＞0恒成立，根據導函數大于0時原函數單調遞增，故正確．
對于C：利用基本不等式f(x)=

ex+e-x

2

≥ 

e x×e-x

=1，最小值是1，故正確；
對于D：根據指數函數的值域知f（x）＞0恒成立，f（x）不存在零點．故錯．
故選D．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減．