Question

（本小題滿分14分）已知橢圓，它的離心率為，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.⑴求橢圓的方程；⑵設橢圓的左焦點為，左準線為，動直線垂直于直線，垂足為點，線段的垂直平分線交于點，求動點的軌跡的方程；⑶將曲線向右平移2個單位得到曲線,設曲線的準線為，焦點為，過作直線交曲線于兩點，過點作平行于曲線的對稱軸的直線，若，試證明三點（為坐標原點）在同一條直線上．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）三點共線

（Ⅰ）由題意可得 ，  （2分）
由，得，∴, （4分）
∴橢圓的方程為. （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得橢圓的左焦點為，左準線為,      
連結，則，設，則,
∴，（6分）化簡得的方程為.（8分）
（Ⅲ）將曲線向右平移2個單位,得曲線的方程為: ,其焦點為，
準線為，對稱軸為軸．（10分）
設直線的方程為，代入y²=4x，得y²－4ty－4=0．
由題意，可設()，()，則y₁y₂=－4，
且有 （12分）∴，，
得．∴三點共線．　（14分）
評析：證明三點共線的方法很多,這里運用向量共線定理來證，體現了平面向量與解析幾何知識的交匯和平面向量知識在解析幾何中的應用．近幾年的高考突出了在知識網絡的交匯點處設計命題的要求，平面向量與解析幾何知識的綜合考查成為一個不衰的熱點，復習中要引起重視．