Question

在自然數(shù)集N上定義一個函數(shù)y = f (x)，已知f (1) + f (2)=5.當(dāng)x為奇數(shù)時，f (x+1)－f (x)=1，當(dāng)x為偶數(shù)時f (x+1)－f (x)=3.
（1）求證：f (1)，f (3)，f (5)，……，f (2n－1) （n∈N₊）成等差數(shù)列.
（2）求f (x)的解析式.

Answer 1

（1）見解析；（2）                .

（1）先構(gòu)造關(guān)于f(1),f(2)的方程，然后根據(jù)，即可得證.
（2）討論x奇數(shù)和偶數(shù),分別利用給的兩個遞推關(guān)系即可求出解析式.
解：（1）有
∴
∴是首項為2，公差為4的等差數(shù)列
（2）當(dāng)x為奇數(shù)時，
+
當(dāng)x為偶數(shù)時，

=
∴                7’